DISTRIBUSI PROBALITAS

A.   PENDAHULUAN

Distribusi Probabilitas adalah suatu distribusi yang mengambarkan peluang dari sekumnpulan variat sebagai pengganti frekuensinya. Probabilitas kumulatif adalah probalitas dari suatu variabel acak yang mempunyai nilai sama atau kurang dari suatu nilai tertentu. Fungsi distribusi peluang pada umumnya dibedakan atas distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.

Variabel random diskrit merupakan suatu variabel random yang hanya dapat memiliki harga - harga yang berbeda yang berhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilangan bulat).

Variabel random kontinu merupakan suatu variabel random yang dapat memiliki harga dalam suatu interval (tak berhingga banyaknya).

B.  DISTRIBUSI PROBALITAS DISKRIT

1.      Variabel Diskrit

Variabel  diskrit  merupakan  variable  yang  nilainya  dapat  diperoleh  dengan  cara  membilang ataupun  menghitung.  Variable  dari  sampel  yang  diambil  dari populasi  ini  bertujuan  untuk mempermudah pemahaman teori sampel dan pembahasan hipotesis pada pengujian selanjutnya.

Variabel diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai

X = X₁,X₂,X₃,.....,X_n terdapat peluang p(xi) = P(X=xi) ditulis

2.     Distribusi Poisson

Algoritma

Hitung a, b =1 dan i =0 

Bangkitkan Ui+1= U(0,1)

Ganti b = bUi+1

Jika b<a maka dapatkan X = i dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5

Ganti i = i+1 kembali ke langkah 2

Contoh:

Suatu kejadian berdistribusi poisson dengan rata-rata 3 kejadian perjam dan terjadi selama periode waktu 1,4 jam.

Tentukan bilangan acak dari distribusi poisson dengan a = 17 z0 = 12357 dan m = 1237

3.     Distribusi Binomial

Metode transformasi dari distribusi binomial

Dengan mempergunakan fungsi densitas binomial yang dinyatakan dengan : k = 0,1, 2 .. n        

Contoh :

Dari suatu distribusi binomial, diketahui p =0,5 dan n =2.

Tentukan bilangan acak dari distribusi binomial dengan a = 77 z0 = 12357 dan m = 127.

4.     Distribusi Geometri

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X = ln(U)/ln(1-p)

Contoh :

Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 30 % pelamar yang sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara insentif dan diseleksi secara acak.

Tentukan bilangan acak dengan a = 43, m = 1237 dan z0 = 12357.

5.     Distribusi Kontinu

Distr probabilitas uniform kontinu

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X = a+(b-a)*U

Contoh :

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi pelayanan telponnya berdistribusi uniform kontinu dengan minimal waktu 3 menit dan maksimal 5 menit. Tentukan bilangan dengan a = 173  z0 = 12357 dan m = 1237.

6.     Distribusi Eksponensial

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X 

Dengan  rata-rata dengan nilai > 0

Contoh :

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi penerimaan telponnya berdistribusi eksponensial dengan mean = 0,1 menit. Tentukan bilangan 10 acak dengan a = 173  z0 = 12357 dan m = 1237.

7.     Distribusi Normal

Algoritma

Bangkitkan U1,U2= U(0,1)

Hitung V1= 2U1-1 dan V2= 2U2-1

Hitung W = V12 + V22

Jika W > 1 maka kembali ke langkah 1 dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5

Contoh :

Sebuah rumah sakit berniat mempelajari penggunaan suatu alat pada ruang emergency. Jika diketahui bahwa lamanya seorang pasien yang di’treat’ menggunakan alat tsb berdistribusi normal dgn mean 0.8 jam dan standard deviasi 0.2 jam, tentukan bilangan acak yang mewakili lamanya penggunaan alat tersebut oleh 6 orang pasien.

8.     Distribusi Gamma

Algoritma

Bangkitkan U1 dan U2

X = -b ln (U1 * U2)

            di mana b adalah parameter

Contoh :

Mesin pada suatu pabrik perlu diperbaiki setiap saat ‘breakdown’ dengan biaya $100/hari. Jika lama perbaikan mesin berdistribusi gamma dengan parameter a = 2 dan b = 1/3, tentukan rata-rata biaya untuk 30 kali ‘breakdown’, jika diketahui mesin breakdown ke 29 kali mengalami lama perbaikan selama 0.38 hari dengan rata-rata lama perbaikan 0.68 hari dgn variansi S2 = 0.02.

Jawab:

U1 = 0.818

U2 = 0.322

X30  = -b ln (U1 * U2)

= - 1/3 ln (0.818 * 0.322)

= 0.445 hari

Jadi, Biaya untuk memperbaiki mesin yg breakdown ke 30 kali adalah

$100 x 0.445 hari = $ 44.5

                                                                           X30 - X29

            Rata-rata ke 30 kali = X30  = X29 +

                                                                                 30

                                                                           0.445 - 0.38

                                                            = 0.68 +

                                                                                 30

                                                            = 0.68 + 0.0022

                                                            = 0.6822

KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA

korelasi

korelasi, juga disebut koefisien korelasi, adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linier antara dua peubah acak (random variable).

Salah satu jenis korelasi yang paling populer adalah koefisien korelasi momen-produk Pearson, yang diperoleh dengan membagi kovarians kedua variabel dengan perkalian simpangan bakunya. Meski memiliki nama Pearson, metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Francis Galton.

Koefisien korelasi momen-produk Pearson

Korelasi linier antara 1000 pasang pengamatan. Data digambarkan pada bagian kiri bawah dan koefisien korelasinya ditunjukkan pada bagian kanan atas. Setiap titik pengamatan berkorelasi maksimum dengan dirinya sendiri, sebagaimana ditunjukkan pada diagonal (seluruh korelasi = +1).

Korelasi ρ_{X, Y} antara dua peubah acak X dan Y dengan nilai yang diharapkan μ_X dan μ_Y dan simpangan baku σ_X dan σ_Y didefinisikan sebagai:

ρ X , Y = c o v ( X , Y ) σ X σ Y = E ( ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) ) σ X σ Y . {\displaystyle \rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}.} Karena μ_X = E(X), σ_X² = E(X²) − E²(X) dan demikian pula untuk Y, maka dapat pula ditulis ρ X , Y = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E ( X 2 ) − E 2 ( X )   E ( Y 2 ) − E 2 ( Y ) {\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sqrt {E(X^{2})-E^{2}(X)}}~{\sqrt {E(Y^{2})-E^{2}(Y)}}}}}

Korelasi dapat dihitung bila simpangan baku finit dan keduanya tidak sama dengan nol. Dalam pembuktian ketidaksamaan Cauchy-Schwarz, koefisien korelasi tak akan melebihi dari 1 dalam nilai absolut. Korelasi bernilai 1 jika terdapat hubungan linier yang positif, bernilai -1 jika terdapat hubungan linier yang negatif, dan antara -1 dan +1 yang menunjukkan tingkat dependensi linier antara dua variabel. Semakin dekat dengan -1 atau +1, semakin kuat korelasi antara kedua variabel tersebut.

Koefisien korelasi non-parametrik

Koefisien korelasi Pearson merupakan statistik parametrik, dan ia kurang begitu menggambarkan korelasi bila asumsi dasar normalitas suatu data dilanggar. Metode korelasi non-parametrik seperti ρ Spearman and τ Kendall berguna ketika distribusi tidak normal. Koefisien korelasi non-parametrik masih kurang kuat bila dibandingkan dengan metode parametrik jika asumsi normalitas data terpenuhi, namun cenderung memberikan hasil distrosi ketika asumsi tersebut tak terpenuhi.

Metode pengukuran yang lain untuk mengetahui dependensi antara dua peubah acak

Untuk mendapatkan suatu pengukuran mengenai dependensi data (juga nonlinier), dapat digunakan rasio korelasi yang mampu mendeteksi hampir segala dependensi fungsional.

Kopula dan korelasi

Banyak orang yang keliru menganggap bahwa informasi yang diberikan dari sebuh koefisien korelasi sudah cukup mendefinisikan struktur ketergantungan (dependensi) antara peubah acak. Namun untuk mengetahui adanya ketergantungan antara peubah acak harus dipertimbangkan pula kopula antara keduanya. Koefisien korelasi dapat didefinisikan sebagai struktur ketergantungan hanya pada beberapa kasus, misalnya dalam fungsi distribusi kumulatif pada distribusi normal multivariat.

Matriks korelasi

Matriks korelasi n peubah acak X₁, ..., X_n adalah n  ×  n matrik dimana i,j adalah corr(X_i, X_j). Jika ukuran korelasi yang digunakan adalah koefisien momen-produk, matriks korelasi akan sama dengan matriks kovarians peubah acak yang telah distandarkan X_i /SD(X_i) untuk i = 1, ..., n. Sehingga, matriks korelasi merupakan matriks definit tak-negatif.

Analisis Regresi Linear Sederhana

Regresi Linear Sederhana adalah Metode Statistik yang berfungsi untuk menguji sejauh mana hubungan sebab akibat antara Variabel Faktor Penyebab (X) terhadap Variabel Akibatnya. Faktor Penyebab pada umumnya dilambangkan dengan X atau disebut juga dengan Predictor sedangkan Variabel Akibat dilambangkan dengan Y atau disebut juga dengan Response. Regresi Linear Sederhana atau sering disingkat dengan SLR (Simple Linear Regression) juga merupakan salah satu Metode Statistik yang dipergunakan dalam produksi untuk melakukan peramalan ataupun prediksi tentang karakteristik kualitas maupun Kuantitas.

Contoh Penggunaan Analisis Regresi Linear Sederhana dalam Produksi antara lain :

1. Hubungan antara Lamanya Kerusakan Mesin dengan Kualitas Produk yang dihasilkan
2. Hubungan Jumlah Pekerja dengan Output yang diproduksi
3. Hubungan antara suhu ruangan dengan Cacat Produksi yang dihasilkan.

Model Persamaan Regresi Linear Sederhana adalah seperti berikut ini :

Y = a + bX

Dimana :
Y = Variabel Response atau Variabel Akibat (Dependent)
X = Variabel Predictor atau Variabel Faktor Penyebab (Independent)
a = konstanta
b = koefisien regresi (kemiringan); besaran Response yang ditimbulkan oleh Predictor.

Nilai-nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan Rumus dibawah ini :

a =   (Σy) (Σx²) – (Σx) (Σxy)
.                n(Σx²) – (Σx)²

b =   n(Σxy) – (Σx) (Σy)
.                n(Σx²) – (Σx)²

Berikut ini adalah Langkah-langkah dalam melakukan Analisis Regresi Linear Sederhana :

1. Tentukan Tujuan dari melakukan Analisis Regresi Linear Sederhana
2. Identifikasikan Variabel Faktor Penyebab (Predictor) dan Variabel Akibat (Response)
3. Lakukan Pengumpulan Data
4. Hitung  X², Y², XY dan total dari masing-masingnya
5. Hitung a dan b berdasarkan rumus diatas.
6. Buatkan Model Persamaan Regresi Linear Sederhana.
7. Lakukan Prediksi atau Peramalan terhadap Variabel Faktor Penyebab atau Variabel Akibat.

PROBALITAS 2

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. XY dan YX pada permutasi di hitung 2, sedangkan pada kombinasi hanya dihitung 1.

Notasi dari permutasi adalah P. Bila n permutasi k, notasinya adalah ⁿPk. Dimana :

ⁿPk Pk = __n!_

    (n−k)!n

Contoh Soal No. 1

Lima orang pemain catur akan memperebutkan juara satu, dua dan tiga pada sebuah turnamen catur. Berapakah banyaknya susunan juara satu, dua dan tiga yang dapat dibentuk dari kelima pemain tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas, kita akan membuat susunan urutan 3 juara dari 5 pemain catur, sehingga k=3 dan n=5. Dengan menggunakan rumus permutasi, banyaknya susunan juara yang dapat dibentuk adalah

nPk = 5P3 =    5!   = 5!  = 60

        (5−3)!    2!

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

C (n,k) = __n!___

               (n - k)! k!

Contoh soal No. 1

A = {x|x kurang dari 5, x e c}
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
A = {0,1,2,3,4,5}

n (A) = 6
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

C (6,2) = ___6____ = 15

                (6 - 2)! 2!